La psicología y las matemáticas

La psicología y las matemáticas La psicología es una de las ciencias encargadas de estudiar el comportamiento de los seres humanos. La enseñanza y el aprendizaje en general hacen parte de éstos comportamientos que contribuyen en gran manera al desarrollo de las sociedades. Entre las teorías tradicionales del aprendizaje se encuentra la teoría estímulo - respuesta preconizada por las diferentes variantes del conductismo. Los seres humanos aprenden, según los conductistas, si se les presenta una información (estímulo) y son capaces de anteponer una respuesta. Los defensores de ésta teoría, sin embargo, no se preocuparon por conocer lo que sucedía en la mente del individuo desde el momento en que recibía la información hasta cuando daba una respuesta al interrogante que se le planteaba. En oposición a ellos, surgieron algunas corrientes psicológicas interesadas en los procesos del pensamiento y en la manera como ellos inciden en el aprendizaje del ser humano y particularmente en el aprendizaje de las matemáticas.
Una de éstas corrientes psicológicas la conformaron los psicólogos de la Gestalt. Aunque la preocupación inicial de éstos la constituyó el fenómeno de percepción como proceso mental, extendieron sus investigaciones hacia el campo del aprendizaje humano. Los gestaltistas afirman que la mente humana interpreta los estímulos que llegan a los sentidos de acuerdo con ciertos principios organizativos que le permiten al individuo algún tipo de comprensión. Para ellos, la percepción no es simplemente la suma de los estímulos que llegan a los sentidos sino que el perceptor inicia una búsqueda de significados de lo que recibe sensorialmente; aportando como ser pensante que es, los principios organizativos de su mente. La forma como cada individuo registra los principios organizativos de su mente es asemejada por los psicólogos de la Gestalt a la forma como ese mismo individuo organiza sus pensamientos. Uno de éstos psicólogos, Wertheimer, notó con preocupación como los docentes de matemáticas fomentaban entre los estudiantes el hábito de aplicar los algoritmos de una manera carente de sentido; coartando la tendencia natural que tienen los niños de ver las cosas como una totalidad estructurada. En vez de éste aprendizaje memoristico carente de sentido, los psicólogos de la Gestalt proponen un aprendizaje productivo basado en la organización de un conjunto de ideas relacionadas estructuradamente; un aporte valioso de los psicólogos de la Gestalt a las matemáticas es el relacionado con la enseñanza y el aprendizaje de conceptos. Para ellos, los niños son capaces de descubrir los conceptos matemáticos si se les proporciona un material relevante y se les permite ensayar y equivocarse; organizar sus ideas hasta encontrar por si mismos las reglas y relaciones que dan origen al concepto buscado. Los niños deben ser estimulados a formular ellos mismos los conceptos que así se interiorizan más a si los reciben pasivamente explicados por el profesor. El niño sólo aprende los conceptos matemáticos cuando es capaz de atribuirle significado a las acciones que ejerce sobre el material que le proporciona el docente.
Ahora bien, al abordar el tema de la enseñanza y del aprendizaje de las matemáticas hay que tener en cuenta las investigaciones realizadas por el psicólogo suizo Jean Piaget y sus colaboradores. Piaget se propuso investigar los procesos del desarrollo del pensamiento de los seres humanos y a medida que avanzó en sus proyectos investigativos llegó a afirmar que las características fundamentales del pensamiento se podían comprender en términos de las proposiciones y relaciones lógicas expresadas por los individuos. Piaget también era de la idea que se podía conocer la historia del desarrollo intelectual de la especie humana estudiando el desarrollo intelectual de los individuos ya que éstos recogen dicha historia durante su proceso de desarrollo.
La teoría piagetiana centra su atención en el aspecto dinámico de la actividad intelectual y en las estructuras psicológicas que caracterizan a los niños en las diferentes etapas de su desarrollo. Aquí el término estructura hace referencia a organizaciones mentales activas de los niños que se van cualificando hasta hacerse cada vez más sofisticadas en los niveles más altos del desarrollo del individuo. Piaget observó que ésta cualificación progresiva ocurrida en los niños a lo largo de cuatro etapas o períodos que clasificó así: (a) Períodos sensorio – motriz. Va desde el nacimiento hasta los dos años y se caracteriza por que el niño coordina sus movimientos físicos. Es también pre - representacional y pre - verbal. (b) Período pre- operacional. Va desde los dos hasta los siete años y se caracteriza por el uso que hace el niño del lenguaje pre - lógico para representar las acciones. (c) Período de operaciones concretas. Va de los siete a los once años y se caracteriza por que el niño adquiere un pensamiento lógico limitado y estrechamente ligado a la realidad física. (d) Período de operaciones formales. Va de los once a los quince años y se caracteriza por que en él se adquiere el pensamiento lógico, abstracto e ilimitado.El conocer las etapas de desarrollo del niño permite al docente reflexionar sobre qué puede aprender el niño de una determinada edad, evitando así obligarlo a tratar de comprender algo para lo cual no está mentalmente preparado.
Según Piaget, los conocimientos no los absorbe el niño del medio que los rodea ni brotan tampoco con su proceso de maduración. Más bien, el aprendizaje se presenta cuando las estructuras intelectuales del niño activamente interactúan con su entorno socio- cultural. El aprendizaje es para Piaget un proceso de construcción de nuevas estructuras mentales al interactuar el sujeto con la realidad. Las acciones del niño sobre los objetos lo conducen a la construcción de nuevas ideas que van más allá de la simple percepción física de simples objetos, es decir, a la construcción del significado. Este proceso de construcción se inicia cuando el niño es capaz de integrar (asimilar) la nueva información a las estructuras de comprensión de la realidad que ya posee. La construcción de significado culmina cuando el niño acomoda la nueva información a sus estructuras previas; presentándose entonces un enriquecimiento, una mayor interconexión de dichas estructuras.
En el caso específico de las matemáticas en la escuela elemental, cabe recordar que el niño en edad escolar se encuentra en el período de operaciones concretas en la cual puede adquirir un pensamiento lógico limitado al ponerlo en contacto con su realidad física. La comunicación con la realidad física, con material concreto, posibilita al niño la adquisición de ideas lógico - matemáticas como la noción de cantidad y el razonamiento espacial. La etapa de operaciones concretas, en consecuencia, es fundamental para la comprensión de nociones matemáticas a tal grado que, a juicio de los piagetianos, la enseñanza de la matemática elemental sin la aparición del pensamiento operatorio sólo llevará al niño a una comprensión limitada del conocimiento matemático; a una capacidad también limitada para razonar y generalizar por sí mismo.
la enseñanza de la matemática elemental, por lo tanto debe ajustarse al nivel de desarrollo intelectual que tenga el niño. Haciendo esto se logrará que el niño aprenda significativamente las nociones de la matemática elemental y estarán en capacidad de construir nuevos significados, es decir, nuevas nociones más avanzadas de las matemáticas. A éste respecto Bruner afirma: "... una vez que el sujeto haya aprendido algo en la forma adecuada a su nivel de desarrollo, podrá avanzar hacia otras formas más complejas y precisas de conocimiento y de uso del conocimiento". Piaget y sus colaboradores, en consecuencia, hicieron valiosos aportes al aprendizaje y específicamente al aprendizaje de las matemáticas. Para facilitar el nivel de comprensión de los niños Piaget establece algunos principios que son de gran utilidad para los docentes. Estos principios son: (a) Aprendizaje constructivo. Comprender es inventar o reinventar; descubrir o redescubrir, construir uno mismo las nociones matemáticas. Esto significa que hay que permitirle al niño ensayar diferentes caminos al enfrentarse a una determinada situación de aprendizaje; cometer errores y corregir la senda hasta hallar lo que se busca. Se requiere para ello de materiales adecuados manejables por los niños así como de ambientes pedagógicos libres de presiones o dudas sobre las reales capacidades de los estudiantes, incluyendo al estudiante ciego. (b) Representaciones concretas. Los conceptos matemáticos deben representarse con materiales concretos. Los niños son capaces de pensar en forma operatoria sólo cuando actúan sobre los objetos o situaciones que se encuentren físicamente presentes siendo capaces, además, de abstraer de ésa realidad física los conceptos matemáticos que se desea que aprenda. (c) El entorno social. Esto hace referencia en la clase de matemáticas a la comunicación, al diálogo permanente que debe existir entre el docente con sus alumnos al igual que entre los mismos alumnos. La interacción social en el aula permite al niño corregir las concepciones de su mente y a construir nuevas y mejores estructuras intelectuales. Al ampliar su mundo social con la edad, el niño pronto se percata de que no siempre las personas que con él interactúan tienen que validar su modo de pensar o de ver la realidad.(d) Entrevista clínica. Para aplicar éste principio en la clase de matemática, el docente puede enfrentar a los niños, utilizando materiales concretos, a conflictos cognitivos (situación de aprendizaje muy cercana al nivel de desarrollo intelectual del niño) y estar atento a las respuestas tanto verbales como gestuales de ellos. No sólo lo que se dice en forma verbal o escrita sino también los gestos de los niños le aportan datos al docente que le permiten percibir en detalles los razonamientos de cada niño, en especial del niño ciego, y deducir así sus procesos de pensamiento.
Para enseñar las matemáticas, en consecuencia, no basta con el saber matemático que posee el docente. Se requiere, además, que éste conozca con precisión en qué nivel de desarrollo intelectual se encuentran los alumnos, y asegurarse así de lo que ellos están en capacidad de aprender en un momento dado. Otros psicólogos cognitivos como Bruner (aquí citado), Ausubel y Vigotsky también han investigado y reflexionado con respecto a éste asunto. Conviene, por tanto, que el docente poseedor del saber matemático se preocupe también por conocer cómo aprenden los alumnos, incluyendo al alumno ciego. De ésta manera, estará en capacidad de comprender cómo podrá enseñarles los conocimientos matemáticos.

Importancia de la formación matemática

Importancia de la formación matemática Nadie en la actualidad puede vivir aislado de las matemáticas, ni siquiera las personas ciegas. Hay quienes han definido las matemáticas como un conjunto de reglas y procedimientos para realizar cálculos. Por esto, la destreza en el cálculo es un objetivo básico en la escuela elemental. El conocimiento matemático, no obstante, debe ir mucho mas allá del cálculo mecánico y memorístico que se enseña en la escuela y que a poco o nada conduce. Si bien es cierto que el cálculo ayuda al estudiante en el proceso de matematización, no es absolutamente necesario para el logro de esto último. Entrenar al niño en el cálculo mecánico y memorístico sería asemejarlo a las calculadoras electrónicas que hacen las operaciones pero no saben por qué ni cómo las están haciendo. Realmente, esta forma de cálculo hoy no tiene sentido teniendo en cuenta que una calculadora puede realizar operaciones muy complejas que en el pasado demandaban de tiempo y esfuerzo.
Al insistir la escuela en la enseñanza memorística del cálculo no hace más que retroceder a la matemática intuitiva con poco o ningún razonamiento, con mucho énfasis en lo práctico; que tuvieron origen con las culturas primitivas. La enseñanza de las matemáticas hoy tiene otra finalidad, ejercitar la inteligencia de los niños. El fin único de las matemáticas, según Piaget, es desarrollar el pensamiento lógico – matemático de los individuos. Esto significa que el maestro debe enseñar a sus alumnos a pensar en términos matemáticos o, lo que es lo mismo, que aprenda a aprender matemáticas. Las matemáticas así aprendidas contribuirán a la formación del niño; entendiendo dicha formación como un proceso interior en constante desarrollo que va mas allá del cultivo de aptitudes y talentos naturales del individuo.
Ahora bien, no es que considere que el cálculo como tal tenga que ser erradicado de los planes y programas de la enseñanza de las matemáticas ya que, como dije antes, el cálculo ayuda al niño en el proceso de matematización. En éste proceso, más que la intuición, el razonamiento juega un papel esencial. El razonamiento nació con la cultura griega y aún hoy no ha perdido vigencia. El estudiante que es capaz de razonar, que es capaz de pensar en términos matemáticos, llegará a comprobar, como lo hicieron los griegos, que el mundo físico puede describirse en términos matemáticos.
La posibilidad de instruir al niño en las matemáticas es bastante alta ya que para ello sólo se requiere de un libro de texto, un programa y alguien con algún conocimiento de matemáticas. Formar al niño desde las matemáticas en el conocimiento matemático es algo muy distinto. Para que esto último ocurra se necesita maestros que, además de poseer el saber matemático, sean investigadores profundos en lo relacionado con la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas.
Formar al estudiante en el pensamiento matemático, en consecuencia, debe ser un objetivo deseable del buen docente de matemáticas. Para ello, éste debe considerar, ante todo, los intereses del niño así como los intereses del entorno sociocultural en el que él está inmerso. El docente debe, entonces, preocuparse por potenciar las capacidades del niño puesto que ellas son poderosas herramientas mentales productoras de cultura. A medida que estas herramientas se cualifican, el niño estará cada vez mejor preparado para identificar una situación problema y para tomar las acciones que permitan su solución.
En resumen, las matemáticas son producto del quehacer intelectual del ser humano. Como tal, evolucionó durante el siglo XX y seguramente seguirá evolucionando en este milenio. En su progresiva evolución las matemáticas han traspasado los límites de su círculo de acción y han penetrado en otras disciplinas científicas. Su valiosa contribución al desarrollo no sólo de las llamadas ciencias naturales sino, también, al de las ciencias encargadas de estudiar el comportamiento humano así lo ratifica. Las matemáticas son importantes entonces por los principios que imponen quienes crean matemática. Por ésta razón son consideradas como la piedra angular de todo pensamiento científico.
Crear matemáticas es un arte que debe ser ejercitado por los estudiantes en la clase con la orientación del docente. El estudiante ciego integrado en la escuela regular no puede ser privado del placer que significa hacer, crear matemática. El también tiene derecho, al igual que los demás estudiantes de la clase, a formarse en las matemáticas, es decir, a desarrollar su pensamiento lógico - matemático. Pero, ¿cómo aprenden matemáticas los niños y el niño ciego en particular?, ¿Cómo realizan las tareas matemáticas?, ¿Cómo desarrollan los estudiantes su pensamiento lógico - matemático? A estas preguntas sólo la psicología puede dar respuesta. Es de gran importancia, entonces, conocer los aportes que ha hecho la psicología a la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas.

Qué son las matemáticas?

Qué son las matemáticas? El filósofo Bertrand Russell afirmó lo siguiente respecto a las matemáticas: "Las matemáticas son aquellas materias en la que no sabemos de qué estamos hablando ni si lo que decimos es verdad". No hay duda que con estas palabras Russell se está refiriendo al alto grado de abstracción que caracteriza a las matemáticas, que las hace diferentes y, hasta cierto punto, más difíciles que otras disciplinas. Realmente, si algo caracteriza más a las matemáticas del siglo XX y comienzos del XXI es precisamente su insistencia en las ideas abstractas.
Un segundo aspecto propio y característico de las matemáticas modernas es su rigor lógico. Hoy día no se puede hablar de matemáticas circunscribiéndola al cálculo aritmético o algebraico. Más bien, hay que profundizar en las estructuras lógico-matemáticas subyacentes a las operaciones y relaciones matemáticas. Este rigor lógico determina el carácter formativo de las matemáticas, es decir, la convierte en una disciplina que enseña a pensar; contribuyendo así a desarrollar intelectualmente al individuo.
También se caracterizan las matemáticas por su lenguaje único y preciso. La adquisición de este lenguaje es de vital importancia para el estudiante ya que ello permite la posibilidad de una verdadera comunicación con su maestro en el aula. Tal comunicación, a su vez, resultará ser el vínculo ideal para que los estudiantes se apropien de los conocimientos matemáticos.
Resumiendo, la matemática de hoy se caracteriza por la importancia que da a las ideas abstractas; por la mayor insistencia en el rigor lógico; por el formalismo de su lenguaje único y preciso; porque ayuda a formar el pensamiento de los individuos. Estas razones podrían hacer pensar que no muchas personas, mucho menos los niños ciegos, tendrían acceso a conocimientos matemáticos. Esta hipótesis, no obstante, carece de validez y no tiene ningún soporte científico. Por el contrario, la mayor prueba de que la matemática es una disciplina científica la da su enseñabilidad, es decir, la posibilidad que tiene de ser enseñada y aprendida por los niños. Lo matemático es producto de la razón cognitiva humana y todo lo racional y argumentable se puede enseñar y ser aprendido.
Ahora bien, respecto a la manera de enseñar las matemáticas Jerome Brúner afirma: "...es posible enseñar cualquier materia a cualquier persona, sea cual fuere su edad, siempre que se haga de forma interesante y sincera". Allí entonces queda la sugerencia de Brúner para el docente de matemáticas: presentarla de manera “interesante” no para él sino, para sus alumnos; especialmente si entre éstos hay uno ciego. La presentación verbal de las matemáticas a los niños de la escuela elemental no resulta interesante para ellos. Sería mucho más conveniente que el docente aprovechara el interés lúdico de los niños y transformar la clase de matemáticas en una serie de juegos productivos, es decir, juegos que permitan al niño comprender los conceptos, las relaciones y operaciones matemáticas.

sIntroducción

El propósito de crear este blog es compartir las experiencias que he tenido como docente de apoyo en el área de las matemáticas con estudiantes limitados visuales. La experiencia no se limita a la enseñanza del ábaco adaptado para ciegos, sino, que el estudiante limitado visual comprenda los conceptos de la matemática que enseñan los maestros regulares de básica primaria y secundaria. No pretendo, sin embargo, sentar cátedra ni, mucho menos, dogmatizar respecto a la enseñanza de la matemática a limitados visuales. Por el contrario, estoy abierto a las críticas constructivas y sugerencias que, a la larga, enriquecen el quehacer pedagógico de quienes trabajamos con este tipo de estudiantes.